Статистика - вероятностная мультипликативная теорема

Для независимых мероприятий

Теорема утверждает, что вероятность одновременного возникновения двух независимых событий определяется произведением их индивидуальных вероятностей.

$ {P (A \ and \ B) = P (A) \ times P (B) \\ [7pt] P (AB) = P (A) \ times P (B)} $

Теорема может быть распространена на три или более независимых события также как

$ {P (A \ cap B \ cap C) = P (A) \ times P (B) \ times P (C) P (A, B \ and \ C) = P (A) \ times P (B) \ times P (C)} $

пример

Постановка задачи:

Колледж должен назначить лектора, который должен быть бакалавром, магистром и доктором наук, вероятность которого составляет $ {\ frac {1} {20}} $, $ {\ frac {1} {25} } $ и $ {\ frac {1} {40}} $ соответственно. Найдите вероятность того, что такой человек будет назначен колледжем.

Решение:

Вероятность того, что человек будет B.Com.P (A) = $ {\ frac {1} {20}} $

Вероятность того, что человек будет MBA P (B) = $ {\ frac {1} {25}} $

Вероятность того, что человек является Ph.DP (C) = $ {\ frac {1} {40}} $

Использование мультипликативной теоремы для независимых событий

$ {P (A, B \ and \ C) = P (A) \ times P (B) \ times P (C) \\ [7pt] = \ frac {1} {20} \ times \ frac {1} {25} \ times \ frac {1} {40} \\ [7pt] = .05 \ times .04 \ times .025 \\ [7pt] = .00005} $

Для зависимых событий (условная вероятность)

Как было определено ранее, зависимые события - это события, в которых возникновение или отсутствие одного события влияет на результат следующего события. Для таких событий ранее изложенная мультипликативная теорема неприменима. Вероятность, связанная с такими событиями, называется условной вероятностью и определяется как

P (A / B) = $ {\ frac {P (AB)} {P (B)}} $ или $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (B)}} $

Считайте P (A / B) как вероятность возникновения события A, когда событие B уже произошло.

Аналогично, условная вероятность B, заданная A, равна

P (B / A) = $ {\ frac {P (AB)} {P (A)}} $ или $ {\ frac {P (A \ cap B)} {P (A)}} $

пример

Постановка задачи:

Монета подбрасывается 2 раза. Бросок привел к одной голове и одному хвосту. Какова вероятность того, что первый бросок привел к хвосту?

Решение:

Пробное пространство монеты, брошенной два раза, дается как S = {ЧЧ, НТ, TH, TT}

Пусть Событие A будет первым броском, в результате которого получится хвост.

Событие В, что один хвост и одна голова произошли.

$ {P (A) = \ frac {P (TH, TT)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {2} {4} = \ frac {1} {2} \\ [ 7pt] P (A \ cap B) = \ frac {P (TH)} {P (HH, HT, TH, TT)} = \ frac {1} {4} \\ [7pt] So \ P (A / B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (A)} \\ [7pt] = \ frac {\ frac {1} {4}} {\ frac {1} {2}} \\ [7pt] = \ frac {1} {2} = 0.5} $