Статистика - вероятностная аддитивная теорема

Для взаимоисключающих событий

Аддитивная теорема вероятности утверждает, что если A и B являются двумя взаимоисключающими событиями, то вероятность A или B определяется как

$ {P (A \ or \ B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] P (A \ cup B) = P (A) + P (B)} $

Теорема может быть расширена до трех взаимоисключающих событий также как

$ {P (A \ cup B \ cup C) = P (A) + P (B) + P (C)} $

пример

Постановка задачи:

Карта взята из колоды 52, какова вероятность того, что это король или королева?

Решение:

Let Event (A) = розыгрыш карты короля

Событие (B) Розыгрыш карты королевы

P (розыгрыш карты - король или королева) = P (карта король) + P (карта - ферзь)

$ {P (A \ cup B) = P (A) + P (B) \\ [7pt] = \ frac {4} {52} + \ frac {4} {52} \\ [7pt] = \ frac {1} {13} + \ frac {1} {13} \\ [7pt] = \ frac {2} {13}} $

Для не взаимоисключающих событий

Если существует возможность того, что оба события произойдут, аддитивная теорема записывается как:

$ {P (A \ или \ B) = P (A) + P (B) - P (A \ and \ B) \\ [7pt] P (A \ cup B) = P (A) + P (B) ) - P (AB)} $

пример

Постановка задачи:

Известно, что стрелок поразил цель 3 из 7 выстрелов; Известно, что другой стрелок поражает цель 2 из 5 выстрелов. Найти вероятность попадания в цель, когда они оба попытаются.

Решение:

Вероятность попадания первого стрелка в цель P (A) = $ {\ frac {3} {7}} $

Вероятность попадания второго стрелка в цель P (B) = $ {\ frac {2} {5}} $

События A и B не являются взаимоисключающими, поскольку оба стрелка могут поразить цель. Следовательно, применимое аддитивное правило

$ {P (A \ cup B) = P (A) + P (B) - P (A \ cap B) \\ [7pt] = \ frac {3} {7} + \ frac {2} {5} - (\ frac {3} {7} \ times \ frac {2} {5}) \\ [7pt] = \ frac {29} {35} - \ frac {6} {35} \\ [7pt] = \ гидроразрыва {23} {35}} $