Статистика - интервальная оценка

Оценка интервала - это использование выборочных данных для расчета интервала возможных (или вероятных) значений неизвестного параметра совокупности, в отличие от точечной оценки, которая представляет собой одно число.

формула

$ {\ mu = \ bar x \ pm Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

Где -

  • $ {\ bar x} $ = среднее

  • $ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}}} $ = коэффициент доверия

  • $ {\ alpha} $ = уровень достоверности

  • $ {\ sigma} $ = стандартное отклонение

  • $ {n} $ = размер выборки

пример

Постановка задачи:

Предположим, студент, измеряющий температуру кипения определенной жидкости, наблюдает показания (в градусах Цельсия) 102,5, 101,7, 103,1, 100,9, 100,5 и 102,2 на 6 различных образцах жидкости. Он рассчитывает среднее значение выборки 101,82. Если он знает, что стандартное отклонение для этой процедуры составляет 1,2 градуса, то какова оценка интервала для среднего значения для населения при уровне достоверности 95%?

Решение:

Студент вычислил среднее значение температуры кипения для выборки 101,82 со стандартным отклонением $ {\ sigma = 0,49} $. Критическое значение для доверительного интервала 95% составляет 1,96, где $ {\ frac {1-0,95} {2} = 0,025} $. 95% доверительный интервал для неизвестного среднего.

$ {= ((101,82 - (1,96 \ 0,49)), (101,82 + (1,96 \ 0,49))) \\ [7pt] \ = (101,82 - 0,96, 101,82 + 0,96) \\ [7pt] \ = ( 100,86, 102,78)} $

По мере снижения уровня достоверности размер соответствующего интервала будет уменьшаться. Предположим, что студент был заинтересован в 90% доверительном интервале для температуры кипения. В этом случае $ {\ sigma = 0.90} $ и $ {\ frac {1-0.90} {2} = 0.05} $. Критическое значение для этого уровня равно 1,645, поэтому доверительный интервал 90%

$ {= ((101,82 - (1,645 \ умножить на 0,49)), (101,82 + (1,645 \ умножить на 0,49))) \\ [7pt] \ = (101,82 - 0,81, 101,82 + 0,81) \\ [7pt] \ = ( 101.01, 102.63)} $

Увеличение размера выборки приведет к уменьшению длины доверительного интервала без снижения уровня достоверности. Это связано с тем, что стандартное отклонение уменьшается с увеличением n.

Граница ошибки

Допустимая погрешность оценки интервала $ {m} $ определяется как добавленная или вычтенная величина из среднего значения выборки, определяющего длину интервала:

$ {Z _ {\ frac {\ alpha} {2}} \ frac {\ sigma} {\ sqrt n}} $

Предположим, что в приведенном выше примере студент желает иметь погрешность, равную 0,5, с доверием 95%. Подстановка соответствующих значений в выражение для $ {m} $ и решение для n дает вычисление.

$ {n = {(1.96 \ times \ frac {1.2} {0.5})} ^ 2 \\ [7pt] \ = {\ frac {2.35} {0.5} ^ 2} \\ [7pt] \ = {(4.7 )} ^ 2 \ = 22.09} $

Чтобы достичь 95% оценки интервала для средней точки кипения с общей длиной менее 1 градуса, студент должен будет выполнить 23 измерения.