Статистика - гамма-распределение

Гамма-распределение представляет собой непрерывные вероятностные распределения двухпараметрического семейства. Гамма-распределения разработаны, как правило, с тремя видами комбинаций параметров.

Параметр формы $ k $ и масштабный параметр $ \ theta $.
Параметр формы $ \ alpha = k $ и параметр обратного масштаба $ \ beta = \ frac {1} {\ theta} $, называемый параметром скорости.
Параметр формы $ k $ и средний параметр $ \ mu = \ frac {k} {\ beta} $.

Каждый параметр представляет собой положительные действительные числа. Гамма-распределение - это максимальное распределение вероятностей энтропии, определяемое следующими критериями.

формула

$ {E [X] = k \ theta = \ frac {\ alpha} {\ beta} \ gt 0 \ and \ is \ fixed. \\ [7pt] E [ln (X)] = \ psi (k) + ln (\ theta) = \ psi (\ alpha) - ln (\ beta) \ and \ is \ fixed. } $

Где -

$ {X} $ = Случайная переменная.
$ {\ psi} $ = функция дигаммы.

Характеризация с использованием формы $ \ alpha $ и скорости $ \ beta $

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности гамма-распределения имеет вид:

формула

$ {f (x; \ alpha, \ beta) = \ frac {\ beta ^ \ alpha x ^ {\ alpha - 1} e ^ {- x \ beta}} {\ Gamma (\ alpha)} \ где \ x \ ge 0 \ and \ \ alpha, \ beta \ gt 0} $

Где -

$ {\ alpha} $ = параметр местоположения.
$ {\ beta} $ = параметр масштаба.
$ {x} $ = случайная величина.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения гамма-распределения задается как:

формула

$ {F (x; \ alpha, \ beta) = \ int_0 ^ xf (u; \ alpha, \ beta) du = \ frac {\ gamma (\ alpha, \ beta x)} {\ Gamma (\ alpha)} } $

Где -

$ {\ alpha} $ = параметр местоположения.
$ {\ beta} $ = параметр масштаба.
$ {x} $ = случайная величина.
$ {\ gamma (\ alpha, \ beta x)} $ = неполная нижняя гамма-функция.

Характеризация с использованием формы $ k $ и масштаба $ \ theta $

Функция плотности вероятности

Функция плотности вероятности гамма-распределения имеет вид:

формула

$ {f (x; k, \ theta) = \ frac {x ^ {k - 1} e ^ {- \ frac {x} {\ theta}}} {\ theta ^ k \ Gamma (k)} \ где \ x \ gt 0 \ and \ k, \ theta \ gt 0} $

Где -

$ {k} $ = параметр формы.
$ {\ theta} $ = параметр масштаба.
$ {x} $ = случайная величина.
$ {\ Gamma (k)} $ = гамма-функция, оцененная в k.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения гамма-распределения задается как:

формула

$ {F (x; k, \ theta) = \ int_0 ^ xf (u; k, \ theta) du = \ frac {\ gamma (k, \ frac {x} {\ theta})}} {\ Gamma (k )}} $

Где -

$ {k} $ = параметр формы.
$ {\ theta} $ = параметр масштаба.
$ {x} $ = случайная величина.
$ {\ gamma (k, \ frac {x} {\ theta})} $ = неполная нижняя гамма-функция.