Статистика - теорема Чебышева

Доля любого набора чисел, лежащих в пределах k стандартных отклонений этих чисел от среднего числа этих чисел, составляет не менее

$ {1- \ гидроразрыва {1} {к ^ 2}} $

Где -

  • $ {k = \ frac {the \ within \ number} {the \ standard \ deviation}} $

и $ {k} $ должно быть больше 1

пример

Постановка задачи:

Используйте теорему Чебышева, чтобы найти, какой процент значений упадет между 123 и 179 для набора данных со средним значением 151 и стандартным отклонением 14.

Решение:

  • Мы вычитаем 151-123 и получаем 28, что говорит нам, что 123 на 28 единиц ниже среднего.

  • Мы вычитаем 179-151, а также получаем 28, что говорит о том, что 151 на 28 единиц выше среднего.

  • Эти два вместе говорят нам, что значения между 123 и 179 находятся в пределах 28 единиц от среднего. Следовательно, «в пределах числа» составляет 28.

  • Таким образом, мы находим число стандартных отклонений, k, которое составляет «в пределах числа» 28, путем деления его на стандартное отклонение:

$ {k = \ frac {the \ inside \ number} {the \ standard \ deviation} = \ frac {28} {14} = 2} $

Итак, теперь мы знаем, что значения между 123 и 179 находятся в пределах 28 единиц от среднего, что совпадает с k = 2 стандартными отклонениями от среднего. Теперь, поскольку k> 1, мы можем использовать формулу Чебышева, чтобы найти долю данных, которые находятся в пределах k = 2 стандартных отклонений от среднего. Подставляя k = 2 имеем:

$ {1- \ frac {1} {k ^ 2} = 1- \ frac {1} {2 ^ 2} = 1- \ frac {1} {4} = \ frac {3} {4}} $

Таким образом, $ {\ frac {3} {4}} $ данных лежат между 123 и 179. И так как $ {\ frac {3} {4} = 75} $%, это означает, что 75% значений данных находятся между 123 и 179.