Теория графов - Типы графов

Существуют различные типы графиков в зависимости от количества вершин, количества ребер, взаимосвязанности и их общей структуры. Мы обсудим только несколько важных типов графиков в этой главе.

Null график

Граф, не имеющий ребер , называется Null графом .

пример

<span class = Нулевой график "/>

На приведенном выше графике есть три вершины с именами «a», «b» и «c», но среди них нет ребер. Следовательно, это Null граф.

Тривиальный график

Граф с единственной вершиной называется тривиальным графом .

пример

тривиальный

На приведенном выше графике есть только одна вершина «а» без других ребер. Следовательно, это тривиальный граф.

Ненаправленный граф

Ненаправленный граф содержит ребра, но ребра не являются ориентированными.

пример

Неориентированный

На этом графике «a», «b», «c», «d», «e», «f», «g» являются вершинами, а «ab», «bc», «cd», «da» ',' ag ',' gf ',' ef '- ребра графа. Поскольку это неориентированный граф, ребра «ab» и «ba» одинаковы. Точно так же другие ребра также рассматриваются аналогичным образом.

Направленный граф

В ориентированном графе каждое ребро имеет направление.

пример

Направленный граф

На приведенном выше графике у нас есть семь вершин «a», «b», «c», «d», «e», «f» и «g», и восемь ребер «ab», «cb», « dc ',' ad ',' ec ',' fe ',' gf 'и' ga '. Поскольку это ориентированный граф, на каждом ребре есть метка стрелки, показывающая его направление. Обратите внимание, что в ориентированном графе «ab» отличается от «ba».

Простой график

Граф без петель и параллельных ребер называется простым графом.

  • Максимально возможное число ребер в одном графе с n вершинами равно n C 2, где n C 2 = n (n - 1) / 2.

  • Число простых графов возможно с n вершинами = 2 n c 2 = 2 n (n-1) / 2 .

пример

На следующем графике есть 3 вершины с 3 ребрами, которые являются максимальными, исключая параллельные ребра и петли. Это можно доказать с помощью приведенных выше формул.

Простой график

Максимальное количество ребер с n = 3 вершинами -

 n C 2 = n(n–1)/2
   = 3(3–1)/2
   = 6/2
   = 3 edges

Максимальное количество простых графов с n = 3 вершинами -

2 n C 2 = 2 n(n-1)/2
   = 2 3(3-1)/2
   = 2 3
   = 8

Эти 8 графиков, как показано ниже -

Восемь графов

Связанный график

Граф G называется связным, если между каждой парой вершин существует путь . Для каждой вершины графа должно быть хотя бы одно ребро. Так что мы можем сказать, что он связан с какой-то другой вершиной на другой стороне ребра.

пример

На следующем графике каждая вершина имеет свое ребро, соединенное с другим ребром. Следовательно, это связный граф.

Связанный график

Отключенный график

Граф G несвязен, если он не содержит хотя бы двух связанных вершин.

Пример 1

Следующий график является примером отключенного графа, где есть два компонента, один с вершинами «a», «b», «c», «d», а другой с «e», «f», «g», вершины 'h'.

Отключенный график

Два компонента независимы и не связаны друг с другом. Следовательно, он называется несвязным графом.

Пример 2

Отключенный график 1

В этом примере есть два независимых компонента, abfe и cd, которые не связаны друг с другом. Следовательно, это несвязный граф.

Обычный график

Граф G называется регулярным, если все его вершины имеют одинаковую степень . В графе, если степень каждой вершины равна «k», то этот граф называется «k-регулярным графом».

пример

На следующих графиках все вершины имеют одинаковую степень. Таким образом, эти графы называются регулярными графами.

Обычный график

В обоих графах все вершины имеют степень 2. Они называются 2-регулярными графами.

Полный график

Простой граф с «n» взаимными вершинами называется полным графом и обозначается «K n » . В графе вершина должна иметь ребра со всеми остальными вершинами, тогда она называется полным графом.

Другими словами, если вершина связана со всеми остальными вершинами графа, то она называется полным графом.

пример

В следующих графах каждая вершина графа связана со всеми остальными вершинами графа, кроме самой себя.

Полный график

На графике я

б с
Не подключен Связано Связано
б Связано Не подключен Связано
с Связано Связано Не подключен

На графике II

п Q р s
п Не подключен Связано Связано Связано
Q Связано Не подключен Связано Связано
р Связано Связано Не подключен Связано
s Связано Связано Связано Не подключен

График цикла

Простой граф с «n» вершинами (n> = 3) и «n» ребрами называется графом циклов, если все его ребра образуют цикл длины «n».

Если степень каждой вершины в графе равна двум, то она называется циклическим графом .

Обозначение - C n

пример

Посмотрите на следующие графики -

  • Граф I имеет 3 вершины с 3 ребрами, которые образуют цикл 'ab-bc-ca'.

  • Граф II имеет 4 вершины с 4 ребрами, которые образуют цикл 'pq-qs-sr-rp'.

  • Граф III имеет 5 вершин с 5 ребрами, которые образуют цикл 'ik-km-ml-lj-ji'.

График цикла

Следовательно, все данные графы являются графами циклов.

Колесо График

Граф колеса получается из графа циклов C n-1 путем добавления новой вершины. Эта новая вершина называется Hub, которая связана со всеми вершинами C n .

Обозначение - W n

No. of edges in W n = No. of edges from hub to all other vertices +
                     No. of edges from all other nodes in cycle graph without a hub.
                     = (n–1) + (n–1)
                     = 2(n–1)

пример

Посмотрите на следующие графики. Они все колесные графики.

Колесо График

На графике I он получен из C 3 путем добавления вершины в середине, названной 'd'. Обозначается как W 4 .

Number of edges in W 4 = 2(n-1) = 2(3) = 6

На графике II он получен из C 4 путем добавления вершины в середине, названной 't'. Обозначается как W 5 .

Number of edges in W 5 = 2(n-1) = 2(4) = 8

На графике III он получен из C 6 путем добавления вершины в середине, названной 'o'. Обозначается как W 7 .

Number of edges in W 4 = 2(n-1) = 2(6) = 12

Циклический график

Граф с хотя бы одним циклом называется циклическим графом.

пример

Циклический график

В приведенном выше примере графа у нас есть два цикла abcda и cfgec. Следовательно, он называется циклическим графом.

Ациклический Граф

Граф без циклов называется ациклическим графом.

пример

Ациклический Граф

В приведенном выше примере графа у нас нет циклов. Следовательно, это нециклический граф.

Двудольный график

Простой граф G = (V, E) с разбиением вершин V = {V 1 , V 2 } называется двудольным графом, если каждое ребро E соединяет вершину в V 1 с вершиной в V 2 .

В общем случае бипертитовый граф имеет два набора вершин, скажем, V 1 и V 2 , и если ребро нарисовано, он должен соединить любую вершину в наборе V 1 с любой вершиной в наборе V 2 .

пример

Двудольный график

На этом графике вы можете наблюдать два набора вершин - V 1 и V 2 . Здесь два ребра с именами «ae» и «bd» соединяют вершины двух множеств V 1 и V 2.

Полный двудольный график

Двудольный граф 'G', G = (V, E) с разбиением V = {V 1 , V 2 } называется полным двудольным графом, если каждая вершина в V 1 связана с каждой вершиной V 2 .

В общем, полный двудольный граф соединяет каждую вершину из множества V 1 с каждой вершиной из множества V 2 .

пример

Следующий граф является полным двудольным графом, потому что у него есть ребра, соединяющие каждую вершину из множества V 1 с каждой вершиной из множества V 2 .

Полный двудольный график

Если | V 1 | = m и | V 2 | = n, то полный двудольный граф обозначается через K m, n .

  • K m, n имеет (m + n) вершин и (mn) ребер.

  • K m, n регулярный граф, если m = n.

В общем случае полный двудольный граф не является полным графом .

K m, n полный граф, если m = n = 1.

Максимальное число ребер в двудольном графе с n вершинами

[
п 2/4
]

Если n = 10, k5, 5 = ⌊ n 2/4 ⌋ = ⌊ 10 2/4 ⌋ = 25

Аналогично К6, 4 = 24

К7, 3 = 21

К8, 2 = 16

К9, 1 = 9

Если n = 9, k5, 4 = ⌊ n 2/4 ⌋ = ⌊ 9 2/4 ⌋ = 20

Аналогично К6, 3 = 18

К7, 2 = 14

К8, 1 = 8

«G» является двудольным графом, если в «G» нет циклов нечетной длины. Частным случаем двудольного графа является звездный граф .

Звездный График

Полный двудольный граф вида K 1, n-1 является графом звезд с n-вершинами. Звездный граф является полным двудольным графом, если одна вершина принадлежит одному набору, а все остальные вершины принадлежат другому набору.

пример

Звездный График

В приведенных выше графах из n вершин все n – 1 вершины связаны с одной вершиной. Следовательно, он имеет вид K 1, n-1, которые являются графами звезд.

Дополнение графика

Пусть ' G - ' простой граф с некоторыми вершинами, такими как у G, и ребро {U, V} присутствует в ' G - ' , если ребро отсутствует в G. Это означает, что две вершины смежны в ' G - ', если две вершины не смежны в G.

Если ребра, которые существуют в графе I, отсутствуют в другом графе II, и если граф I и граф II объединены вместе, чтобы сформировать полный граф, то граф I и граф II называются дополнениями друг друга.

пример

В следующем примере graph-I имеет два ребра 'cd' и 'bd'. Его граф дополнения-II имеет четыре ребра.

Дополнение графика

Обратите внимание, что ребра в графе-I не присутствуют в графе-II и наоборот. Следовательно, комбинация обоих графов дает полный граф из n вершин.

Примечание . Сочетание двух дополнительных графов дает полный граф.

Если «G» - любой простой граф, то

| E (G) | + | E ( ' G - ' ) | = | E (K n ) |, где n = количество вершин в графе.

пример

Пусть 'G' - простой граф с девятью вершинами и двенадцатью ребрами, найдите число ребер в ' G - ' .

У вас есть, | E (G) | + | E ( ' G - ' ) | = | E (K n ) |

12 + | E ( ' G - ' ) | знак равно

9 (9-1) / 2 = 9 C 2

12 + | E ( ' G - ' ) | = 36

| E ( ' G - ' ) | = 24

«G» - простой граф с 40 ребрами, а его дополнение « G - » имеет 38 ребер. Найдите количество вершин в графе G или ' G - ' .

Пусть количество вершин в графе равно n.

Имеем, | E (G) | + | E ( ' G - ' ) | = | E (K n ) |

40 + 38 = n (n-1) / 2

156 = n (n-1)

13 (12) = n (n-1)

n = 13