Теория графов - изоморфизм

Граф может существовать в разных формах, имеющих одинаковое количество вершин, ребер, а также одинаковую связность ребер. Такие графы называются изоморфными графами. Обратите внимание, что мы помечаем графики в этой главе главным образом для того, чтобы ссылаться на них и узнавать их друг от друга.

Изоморфные графы

Два графа G 1 и G 2 называются изоморфными, если -

  • Их количество компонентов (вершин и ребер) одинаково.
  • Их пограничное соединение сохраняется.

Примечание. Короче говоря, из двух изоморфных графов один является измененной версией другого. Немеченый граф также можно рассматривать как изоморфный граф.

There exists a function ‘f’ from vertices of G 1 to vertices of G 2
   [f: V(G 1 ) ⇒ V(G 2 )], such that
Case (i): f is a bijection (both one-one and onto)
Case (ii): f preserves adjacency of vertices, i.e., if the edge {U, V} ∈ G 1 , then the 
   edge {f(U), f(V)} ∈ G 2 , then G 1 ≡ G 2 .

Заметка

Если G 1 ≡ G 2, то -

  • | V (G 1 ) | = | V (G 2 ) |

  • | E (G 1 ) | = | E (G 2 ) |

  • Степени последовательности G 1 и G 2 одинаковы.

  • Если вершины {V 1 , V 2 , .. V k } образуют цикл длины K в G 1 , то вершины {f (V 1 ), f (V 2 ),… f (V k )} должны сформироваться цикл длины K в G 2 .

Все вышеперечисленные условия необходимы для того, чтобы графы G 1 и G 2 были изоморфными, но не достаточными, чтобы доказать, что графы изоморфны.

  • (G 1 ≡ G 2 ) тогда и только тогда, когда ( G 1 -G 2 - ), где G 1 и G 2 - простые графы.

  • (G 1 ≡ G 2 ), если матрицы смежности G 1 и G 2 совпадают.

  • (G 1 ≡ G 2 ) тогда и только тогда, когда соответствующие подграфы G 1 и G 2 (полученные путем удаления некоторых вершин в G 1 и их изображений в графе G 2 ) изоморфны.

пример

Какие из следующих графов изоморфны?

изоморфный

В графе G 3 вершина 'w' имеет только степень 3, тогда как все остальные вершины графа имеют степень 2. Следовательно, G 3 не изоморфна G 1 или G 2 .

Принимая дополнения G 1 и G 2 , у вас есть -

Изоморфный пример

Здесь ( G 1 -G 2 - ), следовательно, (G 1 ≡ G 2 ).

Планарные Графики

Граф «G» называется плоским, если его можно нарисовать на плоскости или сфере так, чтобы никакие два ребра не пересекали друг друга в не вершинной точке.

пример

Планарный график

районы

Каждый плоский план делит плоскость на связанные области, называемые областями.

пример

районы

Степень ограниченной области r = deg (r) = Количество ребер, охватывающих области r .

deg(1) = 3
deg(2) = 4
deg(3) = 4
deg(4) = 3
deg(5) = 8
Пример регионов

Степень неограниченной области r = deg (r) = Количество ребер, охватывающих области r .

deg(R 1 ) = 4
deg(R 2 ) = 6

На плоских графиках сохраняются следующие свойства:

  • 1. В плоском графе с n вершинами сумма степеней всех вершин равна

    n i = 1 градус (V i ) = 2 | E |
  • 2. Согласно теореме о сумме степеней областей , в плоском графе с 'n' областями сумма степеней областей равна -

    n i = 1 градус (r i ) = 2 | E |

На основании приведенной выше теоремы можно сделать следующие выводы:

На плоском графике

  • Если степень каждой области равна K, то сумма степеней областей равна

    K | R | = 2 | E |

  • Если степень каждой области не меньше K (≥ K), то

    K | R | ≤ 2 | E |

  • Если степень каждой области не превышает K (≤ K), то

    K | R | ≥ 2 | E |

Примечание. Предположим, что все регионы имеют одинаковую степень.

3. Согласно формулам Эйлера на плоских графах,

  • Если граф «G» является связным плоскостью, то

    | V | + | R | = | E | + 2

  • Если планарный граф с компонентами K, то

    | V | + | R | = | E | + (К + 1)

Где, | V | число вершин, | E | число ребер, и | R | это количество регионов.

4. Краевое неравенство вершин

Если «G» является связным плоским графом со степенью каждой области, по крайней мере, «K», то,

| E | ≤ k / k - 2 {| v | - 2}

Вы знаете, | V | + | R | = | E | + 2

K. | R | ≤ 2 | E |

K (| E | - | V | + 2) ≤ 2 | E |

(К - 2) | Е | ≤ K (| V | - 2)

| E | ≤ k / k - 2 {| v | - 2}

5. Если 'G' - простой связный плоский граф, то

|E| ≤ 3|V| − 6
|R| ≤ 2|V| − 4

Существует хотя бы одна вершина V ∈ G такая, что deg (V) ≤ 5

6. Если «G» является простым связным плоским графом (по крайней мере с 2 ребрами) и не имеет треугольников, то

|E| ≤ {2|V| – 4}

7. Теорема Куратовского

Граф «G» неплоский в том и только в том случае, если у «G» есть подграф, гомеоморфный K 5 или K 3,3 .

Гомоморфизм

Два графа G 1 и G 2 называются гомоморфными, если каждый из этих графов можно получить из одного и того же графа 'G', разделив некоторые ребра графа G на большее число вершин. Взгляните на следующий пример -

Гомоморфизм

Разделите ребро «rs» на два ребра, добавив одну вершину.

Гомоморфизм 1

Графики, показанные ниже, гомоморфны первому графу.

Гомоморфный с первым графом

Если G 1 изоморфна G 2 , то G гомеоморфна G 2, но обратное не обязательно верно.

  • Любой граф с 4 или менее вершинами является плоским.

  • Любой граф с 8 или менее ребрами является плоским.

  • Полный граф K n является плоским тогда и только тогда, когда n ≤ 4.

  • Полный двудольный граф K m, n является плоским тогда и только тогда, когда m ≤ 2 или n ≤ 2.

  • Простой непланарный граф с минимальным количеством вершин является полным графом K 5 .

  • Простой непланарный граф с минимальным числом ребер равен K 3, 3 .

Многогранный граф

Простой связный плоский граф называется многогранным графом, если степень каждой вершины ≥ 3, т. Е. Deg (V) ≥ 3 ∀ V ∈ G.

  • 3 | В | ≤ 2 | E |
  • 3 | R | ≤ 2 | E |