Упрощение булевых функций

Упрощение с использованием алгебраических функций

В этом подходе одно булево выражение минимизируется в эквивалентное выражение путем применения булевых тождеств.

Проблема 1

Минимизируйте следующее логическое выражение, используя логические тождества -

$$ F (A, B, C) = A'B + BC '+ BC + AB'C' $$

Решение

Учитывая, $ F (A, B, C) = A'B + BC '+ BC + AB'C' $

Или $ F (A, B, C) = A'B + (BC '+ BC') + BC + AB'C '$

[По идемпотентному закону, BC '= BC' + BC ']

Или $ F (A, B, C) = A'B + (BC '+ BC) + (BC' + AB'C ') $

Или $ F (A, B, C) = A'B + B (C '+ C) + C' (B + AB ') $

[По распределительным законам]

Или $ F (A, B, C) = A'B + B.1 + C '(B + A) $

[(C '+ C) = 1 и закон поглощения (B + AB') = (B + A)]

Или $ F (A, B, C) = A'B + B + C '(B + A) $

[B.1 = B]

Или $ F (A, B, C) = B (A '+ 1) + C' (B + A) $

Или $ F (A, B, C) = B.1 + C '(B + A) $

[(A '+ 1) = 1]

Или $ F (A, B, C) = B + C '(B + A) $

[As, B.1 = B]

Или $ F (A, B, C) = B + BC '+ AC' $

Или $ F (A, B, C) = B (1 + C ') + AC' $

Или $ F (A, B, C) = B.1 + AC '$

[As, (1 + C ') = 1]

Или $ F (A, B, C) = B + AC '$

[As, B.1 = B]

Итак, $ F (A, B, C) = B + AC '$ является минимизированной формой.

Проблема 2

Минимизируйте следующее логическое выражение, используя логические тождества -

$$ F (A, B, C) = (A + B) (A + C) $$

Решение

Учитывая, $ F (A, B, C) = (A + B) (A + C) $

Или $ F (A, B, C) = AA + AC + BA + BC $ [Применение дистрибутивного правила]

Или $ F (A, B, C) = A + AC + BA + BC $ [Применение закона Идемпотента]

Или $ F (A, B, C) = A (1 + C) + BA + BC $ [Применение закона распределения]

Или $ F (A, B, C) = A + BA + BC $ [Применение закона доминирования]

Или $ F (A, B, C) = (A + 1) .A + BC $ [Применение закона распределения]

Или $ F (A, B, C) = 1.A + BC $ [Применение закона доминирования]

Или $ F (A, B, C) = A + BC $ [Применение закона доминирования]

Итак, $ F (A, B, C) = A + BC $ - это минимизированная форма.

Карты Карно

Карта Карно (K – map), представленная Морисом Карнофином в 1953 году, представляет собой сетчатое представление таблицы истинности, которая используется для упрощения выражений булевой алгебры. Карта Карно имеет ноль и одну запись в разных позициях. Он обеспечивает группировку логических выражений с общими факторами и исключает нежелательные переменные из выражения. На K-карте пересечение вертикальной или горизонтальной границы ячейки всегда является изменением только одной переменной.

Пример 1

Произвольная таблица истинности взята ниже -

	В	Операция Б
0	0	вес
0	1	Икс
1	0	Y
1	1	Z

Теперь мы сделаем k-карту для приведенной выше таблицы истинности -

Пример 2

Теперь мы сделаем K-карту для выражения - AB + A'B '

Упрощение с использованием K-карты

K-map использует некоторые правила для упрощения логических выражений, объединяя смежные ячейки в один термин. Правила описаны ниже -

Правило 1 - Любая ячейка, содержащая ноль, не может быть сгруппирована.

Неправильная группировка

Правило 2 - Группы должны содержать 2n ячеек (n, начиная с 1).

Неправильная группировка

Правило 3 - Группировка должна быть горизонтальной или вертикальной, но не должна быть диагональной.

Неправильная диагональная группировка

Правильная вертикальная группировка

Правильная горизонтальная группировка

Правило 4 - Группы должны быть охвачены как можно шире.

Недостаточная группировка

Правильная группировка

Правило 5 - Если 1 из любой ячейки не может быть сгруппирована с какой-либо другой ячейкой, она будет действовать как сама группа.

Правильная группировка

Правило 6 - Группы могут перекрываться, но должно быть как можно меньше групп.

Правильная группировка

Правило 7 - Самая левая ячейка / ячейки могут быть сгруппированы с самой правой ячейкой / ячейками, а самая верхняя ячейка / ячейки может быть сгруппирована с самой нижней ячейкой / ячейками.

Правильная группировка

проблема

Минимизируйте следующее логическое выражение, используя K-map -

$$ F (A, B, C) = A'BC + A'BC '+ AB'C' + AB'C $$

Решение

Каждый термин помещается в k-карту, и мы получаем следующее -

K-карта для F (A, B, C)

Теперь мы сгруппируем ячейки 1 согласно правилам, изложенным выше -

K-карта для F (A, B, C)

У нас есть две группы, которые называются $ A'B $ и $ AB '$. Следовательно, $ F (A, B, C) = A'B + AB '= A \ oplus B $. Это минимизированная форма.