Операторы и постулаты

Теория групп - это раздел математики и абстрактной алгебры, который определяет алгебраическую структуру, называемую группой . Обычно группа состоит из набора элементов и операции над любыми двумя элементами в этом наборе, чтобы сформировать третий элемент также в этом наборе.

В 1854 году Артур Кейли, британский математик, впервые дал современное определение группы -

«Набор символов, каждый из которых различен, и такой, что произведение любых двух из них (независимо от того, в каком порядке) или произведение любого из них на себя, принадлежит множеству, называется группой , Эти символы не являются вообще конвертируемыми [коммутативными], но являются ассоциативными ».

В этой главе мы узнаем об операторах и постулатах, которые формируют основы теории множеств, теории групп и булевой алгебры.

Любой набор элементов в математической системе может быть определен с помощью набора операторов и ряда постулатов.

Бинарный оператор, определенный для набора элементов, - это правило, которое присваивает каждой паре элементов уникальный элемент из этого набора. Например, если задано множество $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5 \ rbrace $, мы можем сказать, что $ \ otimes $ - бинарный оператор для операции $ c = a \ otimes b $, если он указывает правило нахождения c для пары $ (a, b) $, такой что $ a, b, c \ in A $.

Постулаты математической системы формируют основные допущения, из которых можно вывести правила. Постулаты -

закрытие

Множество замкнуто относительно бинарного оператора, если для каждой пары элементов в наборе оператор находит уникальный элемент из этого набора.

пример

Пусть $ A = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $

Этот набор замкнут относительно бинарного оператора в $ (\ ast) $, потому что для операции $ c = a \ ast b $ для любого $ a, b \ in A $ произведение $ c \ in A $.

Множество не замкнуто относительно бинарного оператора деления $ (\ div) $, потому что для операции $ c = a \ div b $ для любого $ a, b \ in A $ произведение c может не входить в множество A. Если $ a = 7, b = 2 $, то $ c = 3.5 $. Здесь $ a, b \ in A $, но $ c \ notin A $.

Ассоциативные законы

Бинарный оператор $ \ otimes $ на множестве A является ассоциативным, если он обладает следующим свойством:

$ (x \ otimes y) \ otimes z = x \ otimes (y \ otimes z) $, где $ x, y, z \ in A $

пример

Пусть $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

Оператор plus $ (+) $ является ассоциативным, поскольку для любых трех элементов $ x, y, z \ in A $ выполняется свойство $ (x + y) + z = x + (y + z) $.

Оператор минус $ (-) $ не ассоциативен, так как

$$ (x - y) - z \ ne x - (y - z) $$

Коммутативные законы

Бинарный оператор $ \ otimes $ на множестве A является коммутативным, если он обладает следующим свойством:

$ x \ otimes y = y \ otimes x $, где $ x, y \ in A $

пример

Пусть $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

Оператор plus $ (+) $ является коммутативным, поскольку для любых двух элементов $ x, y \ in A $ выполняется свойство $ x + y = y + x $.

Оператор минус $ (-) $ не ассоциативен, так как

$$ x - y \ ne y - x $$

Распределительные законы

Два бинарных оператора $ \ otimes $ и $ \ circledast $ на множестве A являются дистрибутивными по оператору $ \ circledast $, когда выполняется следующее свойство -

$ x \ otimes (y \ circledast z) = (x \ otimes y) \ circledast (x \ otimes z) $, где $ x, y, z \ in A $

пример

Пусть $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace $

Операторы в $ (*) $ и плюс $ (+) $ являются дистрибутивными по оператору +, потому что для любых трех элементов $ x, y, z \ in A $ свойство $ x * (y + z) = (x * y) + (x * z) $.

Однако эти операторы не являются дистрибутивными по $ * $, так как

$$ x + (y * z) \ ne (x + y) * (x + z) $$

Элемент идентичности

Множество A имеет единичный элемент относительно бинарной операции $ \ otimes $ на A, если существует элемент $ e \ in A $, такой что выполняется следующее свойство:

$ e \ otimes x = x \ otimes e $, где $ x \ in A $

пример

Пусть $ Z = \ lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $

Элемент 1 является единичным элементом относительно операции $ * $, поскольку для любого элемента $ x \ in Z $,

$$ 1 * x = x * 1 $$

С другой стороны, для операции нет минус $ (-) $.

обратный

Если множество A имеет единичный элемент $ e $ относительно бинарного оператора $ \ otimes $, говорят, что оно имеет обратное значение всякий раз, когда для каждого элемента $ x \ in A $ существует другой элемент $ y \ in A $. так, что имеет место следующее свойство:

$$ x \ otimes y = e $$

пример

Пусть $ A = \ lbrace \ dots -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, \ dots \ rbrace $

Учитывая операцию плюс $ (+) $ и $ e = 0 $, обратный элемент любого элемента x равен $ (- x) $, так как $ x + (x) = 0 $.

Закон де Моргана

Законы де Моргана дают пару преобразований между объединением и пересечением двух (или более) множеств с точки зрения их дополнений. Законы -

$$ (A \ cup B) '= A' \ cap B '$$

$$ (A \ cap B) '= A' \ cup B '$$

пример

Пусть $ A = \ lbrace 1, 2, 3, 4 \ rbrace, B = \ lbrace 1, 3, 5, 7 \ rbrace $, и

Универсальный набор $ U = \ lbrace 1, 2, 3, \ dots, 9, 10 \ rbrace $

$ A '= \ lbrace 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace $

$ B '= \ lbrace 2, 4, 6, 8, 9, 10 \ rbrace $

$ A \ cup B = \ lbrace 1, 2, 3, 4, 5, 7 \ rbrace $

$ A \ cap B = \ lbrace 1, 3 \ rbrace $

$ (A \ cup B) '= \ lbrace 6, 8, 9, 10 \ rbrace $

$ A '\ cap B' = \ lbrace 6, 8, 9, 10 \ rbrace $

Таким образом, мы видим, что $ (A \ cup B) '= A' \ cap B '$

$ (A \ cap B) '= \ lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace $

$ A '\ cup B' = \ lbrace 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 \ rbrace $

Таким образом, мы видим, что $ (A \ cap B) '= A' \ cup B '$