Дискретная математика - вероятность

С понятиями счета тесно связана вероятность. Мы часто пытаемся угадать результаты азартных игр, таких как карточные игры, игровые автоматы и лотереи; т.е. мы пытаемся найти вероятность или вероятность того, что будет получен конкретный результат.

Вероятность может быть концептуализирована как нахождение вероятности возникновения события. Математически это исследование случайных процессов и их результатов. Законы вероятности имеют широкое применение в различных областях, таких как генетика, прогнозирование погоды, опросы общественного мнения, фондовые рынки и т. Д.

Основные понятия

Теория вероятностей была изобретена в 17 веке двумя французскими математиками, Блезом Pascal и Пьером де Ферма, которые занимались математическими проблемами случайности.

Прежде чем перейти к деталям вероятности, давайте разберемся с некоторыми определениями.

Случайный эксперимент - эксперимент, в котором известны все возможные результаты и точный результат не может быть предсказан заранее, называется случайным экспериментом. Бросок честной монеты - пример случайного эксперимента.

Пробное пространство - когда мы проводим эксперимент, множество S всех возможных результатов называется пробным пространством. Если мы подбрасываем монету, образец пространства $ S = \ left \ {H, T \ right \} $

Событие. Любое подмножество пробного пространства называется событием. После броска монеты, получение головы на вершине является событием.

Слово «вероятность» означает вероятность наступления определенного события. Лучшее, что мы можем сказать, это то, насколько вероятно, что они произойдут, используя идею вероятности.

$ Вероятность \: of \: occurence \: of \: an \: event = \ frac {Итого \: число \: of \: благоприятный \: результат} {Итого \: число \: of \: Результаты} $

Поскольку возникновение любого события варьируется от 0% до 100%, вероятность варьируется от 0 до 1.

Шаги, чтобы найти вероятность

Шаг 1 - Рассчитайте все возможные результаты эксперимента.

Шаг 2 - Рассчитайте количество благоприятных результатов эксперимента.

Шаг 3 - Примените соответствующую формулу вероятности.

Подбрасывание монеты

Если подброшена монета, возможны два исхода - головы $ (H) $ или хвосты $ (T) $

Итак, общее количество результатов = 2

Следовательно, вероятность получить Хед $ (H) $ сверху равна 1/2, а вероятность получить Хвост $ (T) $ сверху 1/2

Бросать кости

Когда бросают кости, шесть возможных результатов могут быть на вершине - $ 1, 2, 3, 4, 5, 6 $.

Вероятность любого из чисел равна 1/6

Вероятность получения четных чисел составляет 3/6 = 1/2

Вероятность получения нечетных чисел составляет 3/6 = 1/2

Взятие карт из колоды

Из колоды из 52 карт, если выбрана одна карта, найдите вероятность получения туза, а также вероятность получения алмаза.

Общее количество возможных результатов - 52

Результаты туза - 4

Вероятность быть тузом = 4/52 = 1/13

Вероятность быть бриллиантом = 13/52 = 1/4

Аксиомы вероятности

  • Вероятность события всегда варьируется от 0 до 1. $ [0 \ leq P (x) \ leq 1] $

  • Для невозможного события вероятность равна 0, а для определенного события - 1.

  • Если на возникновение одного события не влияет другое событие, они называются взаимоисключающими или непересекающимися.

    Если $ A_1, A_2 .... A_n $ являются взаимоисключающими / непересекающимися событиями, то $ P (A_i \ cap A_j) = \ emptyset $ для $ i \ ne j $ и $ P (A_1 \ cup A_2 \ cup .. .. A_n) = P (A_1) + P (A_2) + ..... P (A_n) $

Свойства вероятности

  • Если есть два события $ x $ и $ \ overline {x} $, которые являются дополнительными, то вероятность дополнительного события равна -

    $$ p (\ overline {x}) = 1-p (x) $$

  • Для двух непересекающихся событий A и B вероятность объединения двух событий -

    $ P (A \ cup B) = P (A) + P (B) $

  • Если событие A является подмножеством другого события B (то есть $ A \ subset B $), то вероятность A меньше или равна вероятности B. Следовательно, $ A \ subset B $ подразумевает $ P (A ) \ leq p (B) $

Условная возможность

Условная вероятность события B - это вероятность того, что событие произойдет, если событие A уже произошло. Это записывается как $ P (B | A) $.

Математически - $ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) $

Если события A и B являются взаимоисключающими, то условная вероятность события B после события A будет вероятностью события B, равной $ P (B) $.

Проблема 1

В стране 50% всех подростков имеют велосипед, а 30% всех подростков имеют велосипед и велосипед. Какова вероятность того, что у подростка есть велосипед, если у подростка есть велосипед?

Решение

Предположим, что A - это случай подростков, владеющих только велосипедом, а B - это случай подростков, владеющих только велосипедом.

Итак, $ P (A) = 50/100 = 0,5 $ и $ P (A \ cap B) = 30/100 = 0,3 $ из данной задачи.

$ P (B | A) = P (A \ cap B) / P (A) = 0,3 / 0,5 = 0,6 $

Следовательно, вероятность того, что подросток владеет велосипедом, учитывая, что у подростка есть велосипед, составляет 60%.

Проблема 2

В классе 50% всех учащихся играют в крикет и 25% всех учащихся играют в крикет и волейбол. Какова вероятность того, что ученик играет в волейбол, учитывая, что ученик играет в крикет?

Решение

Предположим, что A - это игра студентов, играющих только в крикет, а B - это игра студентов, играющих только в волейбол.

Итак, $ P (A) = 50/100 = 0,5 $ и $ P (A \ cap B) = 25/100 = 0,25 $ из данной задачи.

$ P \ lgroup B \ rvert A \ rgroup = P \ lgroup A \ cap B \ rgroup / P \ lgroup A \ rgroup = 0.25 / 0.5 = 0.5 $

Следовательно, вероятность того, что ученик играет в волейбол, учитывая, что ученик играет в крикет, составляет 50%.

Проблема 3

Шесть хороших ноутбуков и три неисправных ноутбука перепутаны. Чтобы найти неисправные ноутбуки, все они проверяются один за другим наугад. Какова вероятность найти оба бракованных ноутбука в первых двух комплектациях?

Решение

Пусть A - это случай, когда мы обнаружим неисправный ноутбук в первом тесте, а B - случай, когда мы обнаружим неисправный ноутбук во втором тесте.

Следовательно, $ P (A \ cap B) = P (A) P (B | A) = 3/9 \ times 2/8 = 1/12 $

Теорема Байеса

Теорема. Если A и B - два взаимоисключающих события, где $ P (A) $ - это вероятность A, а $ P (B) $ - это вероятность B, $ P (A | B) $ - это вероятность A учитывая, что B верно. $ P (B | A) $ - вероятность B, учитывая, что A истинно, тогда теорема Байеса утверждает:

$$ P (A | B) = \ frac {P (B | A) P (A)} {\ sum_ {i = 1} ^ {n} P (B | Ai) P (Ai)} $$

Применение теоремы Байеса

  • В ситуациях, когда все события выборочного пространства являются взаимоисключающими событиями.

  • В ситуациях, когда известны либо $ P (A_i \ cap B) $ для каждого $ A_i $, либо $ P (A_i) $ и $ P (B | A_i) $ для каждого $ A_i $.

проблема

Рассмотрим три подставки для ручек. Первая подставка для ручек содержит 2 красные ручки и 3 синие ручки; второй имеет 3 красных ручки и 2 синих ручки; и третий имеет 4 красных ручки и 1 синюю ручку. Существует равная вероятность выбора каждого подставки для пера. Если одна ручка нарисована случайным образом, какова вероятность того, что это красная ручка?

Решение

Пусть $ A_i $ будет событием, когда выбран i- й подставка для пера.

Здесь я = 1,2,3.

Поскольку вероятность выбора подставки для ручки равна, $ P (A_i) = 1/3 $

Пусть B будет событием, когда нарисовано красное перо.

Вероятность того, что красная ручка выбрана среди пяти ручек первой подставки для ручки,

$ P (B | A_1) = 2/5 $

Вероятность того, что красная ручка выбрана среди пяти ручек второй подставки,

$ P (B | A_2) = 3/5 $

Вероятность того, что красная ручка выбрана среди пяти ручек третьей подставки,

$ P (B | A_3) = 4/5 $

Согласно теореме Байеса,

$ P (B) = P (A_1) .P (B | A_1) + P (A_2) .P (B | A_2) + P (A_3) .P (B | A_3) $

$ = 1/3. 2/5 \: + \: 1/3. 3/5 \: + \: 1/3. 4/5 $

$ = 3/5 $