Ряд Фурье и преобразование

В последнем руководстве по анализу частотной области мы обсуждали, что ряд Фурье и преобразование Фурье используются для преобразования сигнала в частотную область.

Фурье

Фурье был математиком в 1822 году. Он дал ряд Фурье и преобразование Фурье для преобразования сигнала в частотную область.

Серия Фурье

Ряд Фурье просто утверждает, что периодические сигналы могут быть представлены в виде суммы синусов и косинусов при умножении на определенный вес. Далее утверждается, что периодические сигналы можно разбить на дополнительные сигналы со следующими свойствами.

  • Сигналы синусы и косинусы
  • Сигналы являются гармониками друг друга

Это можно наглядно рассматривать как

Преобразование Фурье

В приведенном выше сигнале последний сигнал фактически является суммой всех вышеуказанных сигналов. Это была идея Фурье.

Как рассчитывается

Поскольку, как мы видели в частотной области, чтобы обработать изображение в частотной области, нам нужно сначала преобразовать его, используя в частотную область, и мы должны взять обратный выходной сигнал, чтобы преобразовать его обратно в пространственную область. Вот почему и ряд Фурье, и преобразование Фурье имеют две формулы. Один для преобразования и один преобразование обратно в пространственную область.

Ряд Фурье

Ряд Фурье можно обозначить этой формулой.

Преобразование Фурье

Обратное можно рассчитать по этой формуле.

Преобразование Фурье

преобразование Фурье

Преобразование Фурье просто утверждает, что непериодические сигналы, чья площадь под кривой конечна, также могут быть представлены в интегралах от синусов и косинусов после умножения на определенный вес.

Преобразование Фурье имеет много широких применений, которые включают сжатие изображений (например, сжатие JPEG), фильтрацию и анализ изображений.

Разница между рядами Фурье и преобразованием

Хотя и ряд Фурье, и преобразование Фурье задаются Фурье, но разница между ними заключается в том, что ряд Фурье применяется к периодическим сигналам, а преобразование Фурье применяется к непериодическим сигналам.

Какой из них наносится на изображения

Теперь вопрос в том, какой из них применяется к изображениям, ряд Фурье или преобразование Фурье. Ну, ответ на этот вопрос заключается в том, что изображения. Изображения непериодические. А поскольку изображения непериодические, поэтому преобразование Фурье используется для их преобразования в частотную область.

Дискретное преобразование Фурье

Поскольку мы имеем дело с изображениями, а на самом деле с цифровыми изображениями, то для цифровых изображений мы будем работать над дискретным преобразованием Фурье

Преобразование Фурье

Рассмотрим вышеупомянутый член Фурье синусоиды. Это включает в себя три вещи.

  • Пространственная частота
  • величина
  • фаза

Пространственная частота напрямую связана с яркостью изображения. Величина синусоиды напрямую связана с контрастом. Контрастность - это разница между максимальной и минимальной интенсивностью пикселей. Фаза содержит информацию о цвете.

Формула для двумерного дискретного преобразования Фурье приведена ниже.

Преобразование Фурье

Дискретное преобразование Фурье на самом деле является дискретизированным преобразованием Фурье, поэтому оно содержит несколько выборок, обозначающих изображение. В приведенной выше формуле f (x, y) обозначает изображение, а F (u, v) обозначает дискретное преобразование Фурье. Формула для двумерного обратного дискретного преобразования Фурье приведена ниже.

Преобразование Фурье

Обратное дискретное преобразование Фурье преобразует преобразование Фурье обратно в изображение

Рассмотрим этот сигнал

Теперь мы увидим изображение, для которого мы рассчитаем спектр величин БПФ, а затем смещенный спектр величин БПФ, а затем возьмем Log этого смещенного спектра.

Исходное изображение

Преобразование Фурье

Спектр величин преобразования Фурье

Преобразование Фурье

Сдвинутое преобразование Фурье

Преобразование Фурье

Сдвинутый Спектр Величины

Преобразование Фурье