Цифровые схемы - двухуровневая логическая реализация

Максимальное количество уровней между входами и выходами - два в двухуровневой логике . Это означает, что независимо от общего количества логических вентилей максимальное количество логических вентилей, которые присутствуют (каскадируются) между любым входом и выходом, равно двум в двухуровневой логике. Здесь выходы логических вентилей первого уровня подключены как входы логических вентилей второго уровня.

Рассмотрим четыре логических элемента И, ИЛИ, НЕ и НЕ. Поскольку существует 4 логических элемента, мы получим 16 возможных способов реализации двухуровневой логики. Это И-И-И-И-И-И-И-И-И-И-И-И-И-ИЛИ ИЛИ-И-И-И-ИЛИ-ИЛИ-И-И-И-И-И-И-И-И-И-И-И-И-И-И-И-И-И-И-И-И NOR-OR, NOR-NAND, NOR-NOR.

Эти две реализации логики уровня могут быть классифицированы в следующие две категории.

  • Дегенеративная форма
  • Невырожденная форма

Дегенеративная форма

Если выходные данные двухуровневой логической реализации могут быть получены с использованием одного логического элемента, то это называется вырожденной формой . Очевидно, что количество входов одного логического элемента увеличивается. За счет этого увеличивается размах ворот логики. Это преимущество дегенеративной формы.

Только 6 комбинаций двухуровневых логических реализаций из 16 комбинаций входят в дегенеративную форму. Это И-И, И-И-НЕ, ИЛИ-ИЛИ, ИЛИ-НОР, НАН-НОР, НОРНАНД.

В этом разделе давайте обсудим некоторые реализации. Предположим, что A, B, C & D являются входами, а Y - выходом в каждой логической реализации.

И-И Логика

В этой логической реализации И ворота присутствуют на обоих уровнях. На рисунке ниже показан пример реализации логики «И-И» .

И-И Логика

Мы получим выходные данные логических элементов первого уровня как $ Y_ {1} = AB $ и $ Y_ {2} = CD $

Эти выходы $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ применяются как входы логического элемента AND, который присутствует на втором уровне. Таким образом, выход этого логического элемента И

$$ Y = Y_ {1} Y_ {2} $$

Замените значения $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ в приведенном выше уравнении.

$$ Y = \ left (AB \ right) \ left (CD \ right) $$

$ \ Rightarrow Y = ABCD $

Следовательно, результатом этой логической реализации И-И является ABCD . Эта булева функция может быть реализована с использованием логического элемента И с 4 входами. Следовательно, это дегенеративная форма .

AND-NAND Logic

В этой логической реализации вентили AND присутствуют на первом уровне, а вентили NAND присутствуют на втором уровне. На следующем рисунке показан пример реализации логики AND-NAND .

AND-NAND Logic

Ранее мы получили выходные данные логических элементов первого уровня как $ Y_ {1} = AB $ и $ Y_ {2} = CD $

Эти выходы $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ применяются в качестве входов шлюза NAND, который присутствует на втором уровне. Итак, выход этого NAND-шлюза

$$ Y = {\ left (Y_ {1} Y_ {2} \ right)} '$$

Замените значения $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ в приведенном выше уравнении.

$$ Y = {\ left (\ left (AB \ right) \ left (CD \ right) \ right)} '$$

$ \ Rightarrow Y = {\ left (ABCD \ right)} '$

Следовательно, результат этой логической реализации AND-NAND равен $ {\ left (ABCD \ right)} '$. Эта логическая функция может быть реализована с помощью 4-входного вентиля NAND. Следовательно, это дегенеративная форма .

ИЛИ-ИЛИ Логика

В этой логической реализации вентили ИЛИ присутствуют на обоих уровнях. На следующем рисунке показан пример реализации логики OR-OR .

ИЛИ-ИЛИ Логика

Мы получим выходные данные логических элементов первого уровня как $ Y_ {1} = A + B $ и $ Y_ {2} = C + D $.

Эти выходы $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ применяются как входы логического элемента ИЛИ, который присутствует на втором уровне. Таким образом, выход этого ИЛИ вентиля

$$ Y = Y_ {1} + Y_ {2} $$

Замените значения $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ в приведенном выше уравнении.

$$ Y = \ left (A + B \ right) + \ left (C + D \ right) $$

$ \ Rightarrow Y = A + B + C + D $

Следовательно, выход этой логической реализации ИЛИ-ИЛИ является A + B + C + D. Эта логическая функция может быть реализована с использованием логического элемента ИЛИ с 4 входами. Следовательно, это дегенеративная форма .

Точно так же вы можете проверить, принадлежат ли остальные реализации к этой категории или нет.

Невырожденная форма

Если выход двухуровневой логической реализации не может быть получен с использованием одного логического элемента, то он называется невырожденной формой .

Оставшиеся 10 комбинаций двухуровневых логических реализаций имеют невырожденную форму. Это И-ИЛИ, И-ИЛИ, ИЛИ-И, ИЛИ-НАНД, НАН-И-И, НАНДОР, НАН-НАНД, НОР-И, НОР-ИЛИ, НОР-НОР.

Теперь давайте обсудим некоторые реализации. Предположим, что A, B, C & D являются входами, а Y - выходом в каждой логической реализации.

И-ИЛИ Логика

В этой логической реализации логические элементы И присутствуют на первом уровне, а вентили ИЛИ присутствуют на втором уровне. Ниже на рисунке показан пример реализации логики «И-ИЛИ» .

И-ИЛИ Логика

Ранее мы получили выходные данные логических элементов первого уровня как $ Y_ {1} = AB $ и $ Y_ {2} = CD $.

Эти выходы Y1 и Y2 применяются как входы логического элемента ИЛИ, который присутствует на втором уровне. Таким образом, выход этого ИЛИ вентиля

$$ Y = Y_ {1} + Y_ {2} $$

Замените значения $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ в приведенном выше уравнении

$$ Y = АВ + CD-$$

Следовательно, результатом этой логической реализации И-ИЛИ является AB + CD . Эта логическая функция находится в форме Sum of Products . Поскольку мы не можем реализовать его с помощью одного логического вентиля, логическая реализация И-ИЛИ является невырожденной формой .

AND-NOR Logic

В этой логической реализации вентили AND присутствуют на первом уровне, а вентили NOR присутствуют на втором уровне. На следующем рисунке показан пример реализации логики AND-NOR .

AND-NOR Logic

Мы знаем выходы логических элементов первого уровня как $ Y_ {1} = AB $ и $ Y_ {2} = CD $

Эти выходы Y1 и Y2 применяются как входы логического элемента NOR, который присутствует на втором уровне. Итак, выход этого логического элемента NOR

$$ Y = {\ left (Y_ {1} + Y_ {2} \ right)} '$$

Замените значения $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ в приведенном выше уравнении.

$$ Y = {\ left (AB + CD \ right)} '$$

Следовательно, результат этой логической реализации AND-NOR равен $ {\ left (AB + CD \ right)} '$. Эта булева функция имеет форму AND-OR-Invert . Поскольку мы не можем реализовать его с помощью одного логического элемента, логическая реализация AND-NOR является невырожденной формой.

ИЛИ-И Логика

В этой логической реализации логические элементы ИЛИ присутствуют на первом уровне, а логические элементы И присутствуют на втором уровне. На следующем рисунке показан пример реализации логики ИЛИ-И .

ИЛИ-И Логика

Ранее мы получили выходные данные логических элементов первого уровня как $ Y_ {1} = A + B $ и $ Y_ {2} = C + D $.

Эти выходы $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ применяются как входы логического элемента AND, который присутствует на втором уровне. Таким образом, выход этого логического элемента И

$$ Y = Y_ {1} Y_ {2} $$

Замените значения $ Y_ {1} $ и $ Y_ {2} $ в приведенном выше уравнении.

$$ Y = \ left (A + B \ right) \ left (C + D \ right) $$

Следовательно, результат этой логической реализации ИЛИ-И (A + B) (C + D) . Эта булева функция находится в форме произведения сумм . Поскольку мы не можем реализовать его с помощью единого логического элемента, логическая реализация ИЛИ-И является невырожденной формой .

Точно так же вы можете проверить, принадлежат ли остальные реализации к этой категории или нет.