Цифровые схемы - пороговая логика

В предыдущих главах мы реализовали различные комбинационные схемы с использованием логических элементов. За исключением шлюза NOT, все остальные логические элементы имеют как минимум два входа и один выход. Аналогично, пороговый вентиль также содержит по меньшей мере один вход и только один выход.

Кроме того, он содержит соответствующие веса для каждого входа и пороговое значение. Значения этих весов и пороговых значений могут быть любыми конечными действительными числами.

Основы пороговых ворот

Пусть входы порогового вентиля: X 1 , X 2 , X 3 ,…, X n . Соответствующие веса этих входов W 1 , W 2 , W 3 ,…, W n . Символ пороговых ворот показан на следующем рисунке.

Основы пороговых ворот

Пороговый затвор представлен кружком и имеет «n» входов, от X 1 до X n и один выход Y. Этот круг состоит из двух частей. Одна часть представляет веса, соответствующие входам, а другая часть представляет пороговое значение, T.

Сумма произведений входов с соответствующими весами известна как взвешенная сумма . Если эта взвешенная сумма больше или равна пороговому значению T, то только выход Y будет равен единице. В противном случае выход Y будет равен нулю.

Математически мы можем записать это соотношение между входами и выходами порогового элемента, как показано ниже.

$$ Y = 1, если \: \: W_ {1} X_ {1} + W_ {2} X_ {2} + W_ {3} X_ {3} + ... W_ {n} X_ {n} \ geq T $$

𝑌 = 0, в противном случае.

Следовательно, мы можем реализовать различные логические элементы и логические функции, просто изменив значения весов и / или пороговое значение, T.

пример

Найдем упрощенную булеву функцию для следующих пороговых элементов.

Пример пороговых ворот

Этот пороговый элемент имеет три входа X 1 , X 2 , X 3 и один выход Y.

Веса, соответствующие входам X 1 , X 2 и X 3, составляют W 1 = 2, W 2 = 1 и W 3 = -4 соответственно.

Значение порогового затвора Т = -1.

Взвешенная сумма порога ворот

$$ W = W _ {1} X_ {1} + W _ {2} X_ {2} + W _ {3} X_ {3} $$

Подставим данные веса в приведенное выше уравнение.

$$ \ Rightarrow W = 2X_ {1} + X_ {2} -4X_ {3} $$

Выход порогового элемента Y будет равен 1, если W ≥ −1, в противном случае он будет равен 0.

В следующей таблице показана взаимосвязь между входом и выходом для всех возможных комбинаций входов.

входные Взвешенная сумма Выход
$ X_ {1} $ $ X_ {2} $ $ X_ {3} $ $ W = 2X_ {1} + Х- {2} -4X_ {3} $ $ Y $
0 0 0 0 1
0 0 1 -4 0
0 1 0 1 1
0 1 1 -3 0
1 0 0 2 1
1 0 1 -2 0
1 1 0 3 1
1 1 1 -1 1

Из приведенной выше таблицы мы можем написать булеву функцию для вывода, Y как

$$ Y = \ sum m \ left (0,2,4,6,7 \ right) $$

Упрощение этой булевой функции с использованием 3-х переменных K-Map показано на следующем рисунке.

Упрощенная булева функция

Следовательно, упрощенная булева функция для данного порогового элемента равна $ Y = {X_ {3} '} + X_ {1} X_ {2} $.

Синтез пороговых функций

Пороговый вентиль также называется универсальным вентилем, потому что мы можем реализовать любую булеву функцию, используя пороговые вентили. Иногда может оказаться невозможным реализовать несколько логических вентилей и булевых функций с использованием одного порогового элемента. В этом случае нам может потребоваться несколько пороговых элементов.

Выполните следующие шаги для реализации логической функции с использованием одного порогового элемента.

Шаг 1 - Сформулируйте таблицу истинности для данной булевой функции.

Шаг 2 - В приведенной выше таблице «Истина» добавьте (включите) еще один столбец, который дает соотношение между взвешенными суммами и пороговым значением .

Шаг 3 - Запишите соотношение между взвешенными суммами и порогом для каждой комбинации входов, как указано ниже.

  • Если выходные данные булевой функции равны 1, то взвешенная сумма будет больше или равна пороговому значению для этой комбинации входов.

  • Если выход булевой функции равен 0, то взвешенная сумма будет меньше порогового значения для этой комбинации входов.

Шаг 4 - Выберите значения весов и порога таким образом, чтобы они удовлетворяли всем отношениям, представленным в последнем столбце приведенной выше таблицы.

Шаг 5 - Нарисуйте символ порога с этими весами и значением порога.

пример

Давайте реализуем следующую булеву функцию, используя один пороговый элемент.

$$ Y \ left (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3} \ right) = \ sum m \ left (0,2,4,6,7 \ right) $$

Данная булева функция представляет собой функцию трех переменных, которая представлена в виде суммы минимальных членов. Таблица истинности этой функции показана ниже.

входные Выход
X 1 X 2 X 3 Y
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1

Теперь давайте добавим (включим) еще один столбец в таблицу выше. Этот последний столбец содержит отношения между взвешенными суммами (W) и пороговым значением (T) для каждой комбинации входов.

входные Выход Отношения между W & T
X 1 X 2 X 3 Y
0 0 0 1 0 ≥T
0 0 1 0 W 3 <T
0 1 0 1 W 2 ≥ T
0 1 1 0 W 2 + W 3 <T
1 0 0 1 W 1 ≥ T
1 0 1 0 W 1 + W 3 <T
1 1 0 1 W 1 + W 2 ≥ T
1 1 1 1 W 1 + W 2 + W 3 ≥ T

Ниже приведены выводы из приведенной выше таблицы.

  • Значение Threshold должно быть либо нулевым, либо отрицательным в зависимости от первого отношения.

  • Значение W 3 должно быть отрицательным на основании первого и второго соотношений.

  • Значения W 1 и W 2 должны быть больше или равны пороговому значению на основе пятого и третьего соотношений.

  • W 2 должно быть больше, чем W 3 на основе четвертого соотношения.

Мы можем выбрать следующие значения для весов и порога на основе приведенных выше выводов.

W 1 = 2, W 2 = 1, W 3 = -4 & T = -1

Символ пороговых ворот с указанными выше значениями показан ниже.

Символ пороговых ворот

Следовательно, этот пороговый элемент реализует заданную булеву функцию : $ Y \ left (X_ {1}, X_ {2}, X_ {3} \ right) = \ sum m \ left (0,2,4,6,7 \ правильно)