Цифровые схемы - базовые преобразования
В предыдущей главе мы видели четыре выдающихся системы счисления. В этой главе давайте преобразуем числа из одной системы счисления в другую, чтобы найти эквивалентное значение.
Преобразование десятичного числа в другие базы
Если десятичное число содержит как целую часть, так и дробную часть, то преобразуйте обе части десятичного числа в другое основание по отдельности. Выполните следующие шаги для преобразования десятичного числа в эквивалентное ему число любой базы 'r'.
Сделайте деление целой части десятичного числа и последовательных отношений с основанием 'r' и запишите остатки, пока частное не станет равным нулю. Рассмотрим остатки в обратном порядке, чтобы получить целую часть эквивалентного числа основания 'r'. Это означает, что первые и последние остатки обозначают наименее значимую цифру и наиболее значимую цифру соответственно.
Умножьте дробную часть десятичного числа и последовательных дробей на основание 'r' и запишите перенос, пока результат не станет равным нулю или не будет получено желаемое количество эквивалентных цифр. Рассмотрим нормальную последовательность переноса, чтобы получить дробную часть эквивалентного числа основания 'r'.
Десятичное в двоичное преобразование
Происходят следующие два типа операций при преобразовании десятичного числа в его эквивалентное двоичное число.
- Деление целой части и последовательных отношений с основанием 2.
- Умножение дробной части и последовательных дробей с основанием 2.
пример
Рассмотрим десятичное число 58,25 . Здесь целочисленная часть равна 58, а дробная часть равна 0,25.
Шаг 1 - Деление 58 и последовательных отношений с основанием 2.
| операция | частное | остаток |
|---|---|---|
| 58/2 | 29 | 0 (LSB) |
| 29/2 | 14 | 1 |
| 14/2 | 7 | 0 |
| 7/2 | 3 | 1 |
| 3/2 | 1 | 1 |
| 1/2 | 0 | 1 (СЗБ) |
⇒ (58) 10 = (111010) 2
Следовательно, целая часть эквивалентного двоичного числа равна 111010 .
Шаг 2 - Умножение 0,25 и последовательных дробей с основанием 2.
| операция | Результат | Нести |
|---|---|---|
| 0,25 х 2 | 0,5 | 0 |
| 0,5 х 2 | 1,0 | 1 |
| - | 0.0 | - |
⇒ (.25) 10 = (.01) 2
Следовательно, дробная часть эквивалентного двоичного числа равна 0,01.
⇒ (58.25) 10 = (111010.01) 2
Следовательно, двоичный эквивалент десятичного числа 58.25 равен 111010.01.
Десятичное в восьмое
Происходят следующие два типа операций при преобразовании десятичного числа в его эквивалентное восьмеричное число.
Деление целой части и последовательных отношений с основанием 8.
Умножение дробной части и последовательных дробей с основанием 8.
пример
Рассмотрим десятичное число 58,25 . Здесь целочисленная часть равна 58, а дробная часть равна 0,25.
Шаг 1 - Деление 58 и последовательных отношений с основанием 8.
| операция | частное | остаток |
|---|---|---|
| 58/8 | 7 | 2 |
| 7/8 | 0 | 7 |
⇒ (58) 10 = (72) 8
Следовательно, целая часть эквивалентного восьмеричного числа равна 72 .
Шаг 2 - Умножение 0,25 и последовательных дробей с основанием 8.
| операция | Результат | Нести |
|---|---|---|
| 0,25 х 8 | 2,00 | 2 |
| - | 0,00 | - |
⇒ (.25) 10 = (.2) 8
Следовательно, дробная часть эквивалентного восьмеричного числа равна .2
⇒ (58,25) 10 = (72,2) 8
Следовательно, восьмеричный эквивалент десятичного числа 58,25 составляет 72,2.
Десятичное в гекса-десятичное преобразование
Происходят следующие два типа операций при преобразовании десятичного числа в его эквивалентное шестнадцатеричное число.
- Деление целой части и последовательных отношений с основанием 16.
- Умножение дробной части и последовательных дробей с основанием 16.
пример
Рассмотрим десятичное число 58,25 . Здесь целая часть равна 58, а десятичная часть равна 0,25.
Шаг 1 - Деление 58 и последовательных отношений с основанием 16.
| операция | частное | остаток |
|---|---|---|
| 58/16 | 3 | 10 = А |
| 3/16 | 0 | 3 |
⇒ (58) 10 = (3А) 16
Следовательно, целая часть эквивалентного шестнадцатеричного числа равна 3А.
Шаг 2 - Умножение 0,25 и последовательных дробей с основанием 16.
| операция | Результат | Нести |
|---|---|---|
| 0,25 х 16 | 4,00 | 4 |
| - | 0,00 | - |
⇒ (.25) 10 = (.4) 16
Следовательно, дробная часть эквивалентного гекса-десятичного числа равна .4.
⇒ (58.25) 10 = (3А.4) 16
Следовательно, шестнадцатеричный эквивалент десятичного числа 58,25 равен 3A.4.
Преобразование двоичного числа в другие базы
Процесс преобразования числа из двоичного в десятичное отличается от процесса преобразования двоичного числа в другие основания. Теперь давайте поговорим о преобразовании двоичного числа в десятичную, восьмеричную и гекса-десятичную системы счисления одну за другой.
Двоично-десятичное преобразование
Для преобразования двоичного числа в его эквивалентное десятичное число сначала умножьте биты двоичного числа на соответствующие позиционные веса, а затем добавьте все эти произведения.
пример
Рассмотрим двоичное число 1101.11 .
Математически мы можем записать это как
(1101.11) 2 = (1 × 2 3 ) + (1 × 2 2 ) + (0 × 2 1 ) + (1 × 2 0 ) + (1 × 2 -1 ) +
(1 × 2 -2 )
⇒ (1101.11) 2 = 8 + 4 + 0 + 1 + 0,5 + 0,25 = 13,75
⇒ (1101.11) 2 = (13.75) 10
Следовательно, десятичный эквивалент двоичного числа 1101.11 составляет 13,75.
Бинарное преобразование в восьмеричное
Мы знаем, что базисами двоичных и восьмеричных систем счисления являются 2 и 8 соответственно. Три бита двоичного числа эквивалентны одной восьмеричной цифре, поскольку 2 3 = 8.
Выполните эти два шага для преобразования двоичного числа в его эквивалентное восьмеричное число.
Начните с двоичной точки и сделайте группы по 3 бита с обеих сторон двоичной точки. Если один или два бита меньше при создании группы из 3 битов, то включите необходимое количество нулей на крайних сторонах.
Запишите восьмеричные цифры, соответствующие каждой группе из 3 бит.
пример
Рассмотрим двоичное число 101110.01101 .
Шаг 1 - Создайте группы по 3 бита с обеих сторон двоичной точки.
101 110.011 01
Здесь, с правой стороны двоичной точки, последняя группа имеет только 2 бита. Итак, включите один ноль на крайней стороне, чтобы сделать его группой из 3 битов.
⇒ 101 110.011 010
Шаг 2 - Запишите восьмеричные цифры, соответствующие каждой группе из 3 бит.
⇒ (101 110.011 010) 2 = (56.32) 8
Следовательно, восьмеричный эквивалент двоичного числа 101110.01101 равен 56,32.
Двоичное преобразование в гекса-десятичное
Мы знаем, что базисами двоичных и гекса-десятичных систем счисления являются 2 и 16 соответственно. Четыре бита двоичного числа эквивалентны одной шестнадцатеричной цифре, поскольку 2 4 = 16.
Выполните эти два шага для преобразования двоичного числа в его эквивалентное шестнадцатеричное число.
Начните с двоичной точки и сделайте группы по 4 бита с обеих сторон двоичной точки. Если при создании группы из 4 битов несколько битов меньше, включите необходимое число нулей на крайних сторонах.
Запишите шестнадцатеричные цифры, соответствующие каждой группе из 4 битов.
пример
Рассмотрим двоичное число 101110.01101
Шаг 1 - Создайте группы по 4 бита с обеих сторон двоичной точки.
10 1110.0110 1
Здесь первая группа имеет только 2 бита. Итак, включите два нуля на крайней стороне, чтобы сделать его группой из 4 битов. Аналогично, включите три нуля на крайней стороне, чтобы сделать последнюю группу также группой из 4 битов.
⇒ 0010 1110.0110 1000
Шаг 2 - Запишите гекса-десятичные цифры, соответствующие каждой группе из 4 битов.
⇒ (0010 1110.0110 1000) 2 = (2E.68) 16
Следовательно, шестнадцатеричный эквивалент двоичного числа 101110.01101 равен (2E.68).
Восьмеричное преобразование в другие базы
Процесс преобразования восьмеричного числа в десятичное отличается от процесса преобразования восьмеричного числа в другие основания. Теперь давайте поговорим о преобразовании восьмеричного числа в десятичную, двоичную и гекса-десятичную системы счисления одну за другой.
Восьмеричное и десятичное преобразование
Чтобы преобразовать восьмеричное число в его эквивалентное десятичное число, сначала умножьте цифры восьмеричного числа на соответствующие позиционные веса, а затем добавьте все эти произведения.
пример
Рассмотрим восьмеричное число 145.23 .
Математически мы можем записать это как
(145.23) 8 = (1 × 8 2 ) + (4 × 8 1 ) + (5 × 8 0 ) + (2 × 8 -1 ) + (3 × 8 -2 )
⇒ (145,23) 8 = 64 + 32 + 5 + 0,25 + 0,05 = 101,3
⇒ (145,23) 8 = (101,3) 10
Следовательно, десятичный эквивалент восьмеричного числа 145,23 равен 101,3.
Восьмеричное в двоичное преобразование
Процесс преобразования восьмеричного числа в эквивалентное двоичное число прямо противоположен процессу преобразования двоичного числа в восьмеричное. Представляя каждую восьмеричную цифру с 3 битами, мы получим эквивалентное двоичное число.
пример
Рассмотрим восьмеричное число 145.23 .
Представьте каждую восьмеричную цифру с 3 битами.
(145.23) 8 = (001 100 101.010 011) 2
Значение не изменяется, удаляя нули, которые находятся на крайней стороне.
⇒ (145.23) 8 = (1100101.010011) 2
Следовательно, двоичный эквивалент восьмеричного числа 145,23 равен 1100101.010011.
Восьмеричное в гекса-десятичное преобразование
Выполните эти два шага для преобразования восьмеричного числа в его эквивалентное шестнадцатеричное число.
- Преобразуйте восьмеричное число в его эквивалентное двоичное число.
- Преобразуйте указанное выше двоичное число в его эквивалентное шестнадцатеричное число.
пример
Рассмотрим восьмеричное число 145,23
В предыдущем примере мы получили двоичный эквивалент восьмеричного числа 145,23 как 1100101.010011.
Следуя процедуре двоичного преобразования в гекса-десятичное, мы получим
(1100101.010011) 2 = (65,4 ° С) 16
⇒ (145,23) 8 = (65,4 ° С) 16
Следовательно, шестнадцатеричный эквивалент восьмеричного числа 145,23 составляет 65,4 С.
Преобразование шестнадцатеричного числа в другие базы
Процесс преобразования числа из шестнадцатеричного числа в десятичное отличается от процесса преобразования шестнадцатеричного числа в другие основания. Теперь давайте поговорим о преобразовании гекса-десятичного числа в десятичную, двоичную и восьмеричную системы счисления одну за другой.
Гекса-десятичное в десятичное преобразование
Для преобразования шестнадцатеричного числа в эквивалентное десятичное число сначала умножьте цифры шестнадцатеричного числа на соответствующие позиционные веса, а затем добавьте все эти продукты.
пример
Рассмотрим шестнадцатеричное число 1A5.2
Математически мы можем записать это как
(1A5.2) 16 = (1 × 16 2 ) + (10 × 16 1 ) + (5 × 16 0 ) + (2 × 16 -1 )
⇒ (1A5.2) 16 = 256 + 160 + 5 + 0,125 = 421,125
⇒ (1A5.2) 16 = (421.125) 10
Следовательно, десятичный эквивалент шестнадцатеричного числа 1A5.2 составляет 421,125.
Гекса-десятичное в двоичное преобразование
Процесс преобразования шестнадцатеричного числа в его эквивалентное двоичное число прямо противоположен процессу преобразования двоичного числа в шестнадцатеричное. Представляя каждую шестнадцатеричную цифру четырьмя битами, мы получим эквивалентное двоичное число.
пример
Рассмотрим гекса-десятичное число 65.4C
Представьте каждую шестнадцатеричную цифру с 4 битами.
(65,4 ° С) 6 = (0110 0101,0100 1100) 2
Значение не изменяется, удаляя нули, которые находятся на двух крайних сторонах.
⇒ (65,4C) 16 = (1100101.010011) 2
Поэтому двоичный эквивалент шестнадцатеричного числа 65.4C равен 1100101.010011.
Преобразование из шестнадцатеричной системы в десятичную
Выполните эти два шага для преобразования шестнадцатеричного числа в его эквивалентное восьмеричное число.
- Преобразуйте шестнадцатеричное число в его эквивалентное двоичное число.
- Преобразуйте указанное выше двоичное число в его эквивалентное восьмеричное число.
пример
Рассмотрим гекса-десятичное число 65.4C
В предыдущем примере мы получили двоичный эквивалент шестнадцатеричного числа 65.4C как 1100101.010011.
Следуя процедуре двоичного преобразования в восьмеричное, мы получим
(1100101.010011) 2 = (145,23) 8
⇒ (65,4C) 16 = (145,23) 𝟖
Следовательно, восьмеричный эквивалент шестнадцатеричного числа 65,4 C равен 145,23.