Цифровые арифметические схемы

В этой главе давайте поговорим об основных арифметических схемах, таких как двоичный сумматор и двоичный вычитатель. Эти схемы могут работать с двоичными значениями 0 и 1.

Двоичный сумматор

Самая основная арифметическая операция - сложение. Схема, которая выполняет сложение двух двоичных чисел, называется двоичным сумматором . Во-первых, давайте реализуем сумматор, который выполняет сложение двух битов.

Полумесяц

Половина сумматора представляет собой комбинационную схему, которая выполняет сложение двух двоичных чисел A и B, состоящих из одного бита . Он выдает две выходных суммы, S & carry, C.

Таблица истинности Half сумматора показана ниже.

входные Выходы
В С S
0 0 0 0
0 1 0 1
1 0 0 1
1 1 1 0

Когда мы добавляем два бита, результирующая сумма может иметь значения в диапазоне от 0 до 2 в десятичном виде. Мы можем представить десятичные цифры 0 и 1 одним битом в двоичном виде. Но мы не можем представить десятичную цифру 2 с одним битом в двоичном виде. Итак, нам требуется два бита для представления его в двоичном виде.

Пусть, sum, S - младший значащий бит и перенос, C - старший значащий бит из полученной суммы. Для первых трех комбинаций входов, carry, C равен нулю, а значение S будет равно нулю или единице в зависимости от количества единиц, присутствующих на входах. Но, для последней комбинации входов, carry, C равен единице, а sum равен нулю, поскольку результирующая сумма равна двум.

Из таблицы Truth мы можем напрямую записать логические функции для каждого вывода как

$$ S = A \ oplus B $$

$ C = AB $

Мы можем реализовать вышеупомянутые функции с 2-входным вентилем Ex-OR и 2-входным вентилем AND. Принципиальная электрическая схема полумесяца показана на следующем рисунке.

Полумесяц

В приведенной выше схеме два входных логических элемента ИЛИ-И и два входных И логических элемента И дают сумму, S и перенос, C соответственно. Поэтому Half-adder выполняет сложение двух битов.

Полный сумматор

Полный сумматор представляет собой комбинационную схему, которая выполняет сложение трех битов A, B и C в . Где A & B - два параллельных значащих бита, а C in - бит переноса, который генерируется из предыдущего этапа. Этот полный сумматор также выдает две выходные суммы, S & carry, C out , которые похожи на половину сумматора.

Таблица истинности полного сумматора показана ниже.

входные Выходы
В С в C out S
0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1

Когда мы добавляем три бита, результирующая сумма может иметь значения в диапазоне от 0 до 3 в десятичном виде. Мы можем представить десятичные цифры 0 и 1 одним битом в двоичном виде. Но мы не можем представлять десятичные цифры 2 и 3 одним битом в двоичном виде. Итак, нам требуется два бита для представления этих двух десятичных цифр в двоичном виде.

Пусть, sum, S - младший значащий бит и перенос, C out - старший значащий бит полученной суммы. Легко заполнить значения выходов для всех комбинаций входов в таблице истинности. Просто посчитайте количество единиц на входах и запишите эквивалентное двоичное число на выходах. Если C in равен нулю, то полная таблица истинности сумматора такая же, как в таблице истинной половины сумматора.

Мы получим следующие логические функции для каждого вывода после упрощения.

$$ S = A \ oplus B \ oplus C_ {in} $$

$ c_ {out} = AB + \ left (A \ oplus B \ right) c_ {in} $

Сумма S равна единице, когда на входах присутствует нечетное число единиц. Мы знаем, что вентиль Ex-OR производит вывод, который является нечетной функцией. Таким образом, мы можем использовать либо два входа Ex-OR с 2 входами, либо один вентиль Ex-OR с 3 входами, чтобы получить сумму S. Мы можем реализовать перенос C , используя два вентиля И с двумя входами И и один вентиль ИЛИ. Принципиальная электрическая схема полного сумматора показана на следующем рисунке.

Полный сумматор

Этот сумматор называется полным сумматором, потому что для реализации одного полного сумматора нам нужны два полумесяца и один вентиль ИЛИ. Если C in равно нулю, то Полное сумматор становится Полу сумматором. Мы можем легко проверить это из приведенной схемы или из булевых функций выходов полного сумматора.

4-битный двоичный сумматор

4-разрядный двоичный сумматор выполняет сложение двух 4-разрядных чисел . Пусть 4-битные двоичные числа, $ A = A_ {3} A_ {2} A_ {1} A_ {0} $ и $ B = B_ {3} B_ {2} B_ {1} B_ {0} $. Мы можем реализовать 4-битный двоичный сумматор одним из следующих двух способов.

  • Для суммирования двух старших значащих битов используйте один половинный сумматор и три полных сумматора.

  • Используйте четыре полных сумматора для однородности. Поскольку начальный перенос C in равен нулю, полный сумматор, который используется для добавления младших значащих битов, становится половинным сумматором.

Пока мы рассматривали второй подход. Блок-схема 4-битного двоичного сумматора показана на следующем рисунке.

Четырехбитный двоичный сумматор

Здесь 4 полных сумматора расположены каскадно. Каждый полный сумматор получает соответствующие биты двух параллельных входов A и B. Выходной сигнал переноса одного полного сумматора будет входом переноса последующего полного сумматора более высокого порядка. Этот 4-битный двоичный сумматор производит результирующую сумму, имеющую не более 5 бит. Итак, проводить последний этап Полным сумматором будет MSB.

Таким образом, мы можем реализовать любой двоичный сумматор высшего порядка, просто каскадируя необходимое количество полных сумматоров. Этот двоичный сумматор также называется сумматором с волновым переносом (двоичным), потому что перенос распространяется (колебания) от одного этапа к следующему этапу.

Бинарный вычитатель

Схема, которая выполняет вычитание двух двоичных чисел, известна как двоичный вычитатель . Мы можем реализовать двоичный вычитатель следующими двумя способами.

  • Каскад Полные вычитатели
  • Метод дополнения 2

В первом методе мы получим n-битный двоичный вычитатель путем каскадного вычитания 'n' полных вычитателей. Итак, сначала вы можете реализовать Half subtractor и Full subtractor, аналогично Half adder & Full adder. Затем вы можете реализовать n-битный двоичный вычитатель, каскадируя 'n' полных вычитателей. Итак, у нас будут две отдельные схемы для двоичного сложения и вычитания двух двоичных чисел.

Во втором методе мы можем использовать один и тот же двоичный сумматор для вычитания двух двоичных чисел, просто выполнив некоторые изменения во втором входе. Таким образом, внутренне двоичная операция сложения имеет место, но на выходе получается вычитание.

Мы знаем, что вычитание двух двоичных чисел A & B может быть записано как,

$$ AB = A + \ left ({2} 's:: compment \: of \: B \ right) $$

$ \ Rightarrow AB = A + \ left ({1} 's: комплимент \: of \: B \ right) + 1 $

4-разрядный двоичный вычитатель

4-разрядный двоичный вычитатель производит вычитание двух 4-разрядных чисел . Пусть 4-битные двоичные числа, $ A = A_ {3} A_ {2} A_ {1} A_ {0} $ и $ B = B_ {3} B_ {2} B_ {1} B_ {0} $. Внутренне работа 4-разрядного двоичного вычитателя аналогична работе 4-разрядного двоичного сумматора. Если нормальные биты двоичного числа A, дополненные биты двоичного числа B и начального переноса (заимствования), C в качестве единицы применяются к 4-разрядному двоичному сумматору, то он становится 4-разрядным двоичным вычитающим веществом. Блок-схема 4-разрядного двоичного вычитателя показана на следующем рисунке.

4-битный бинарный вычитатель

Этот 4-битный двоичный вычитатель выдает выходной сигнал, имеющий не более 5 бит. Если двоичное число A больше двоичного числа B, то значение MSB на выходе равно нулю, а оставшиеся биты содержат величину AB. Если двоичное число A меньше двоичного числа B, то MSB выходного значения равно единице. Итак, возьмите 2-е дополнение вывода, чтобы получить величину AB.

Таким образом, мы можем реализовать любой двоичный вычитатель высшего порядка, просто каскадируя необходимое количество полных сумматоров с необходимыми модификациями.

Двоичный сумматор / вычитатель

Схема, которую можно использовать для сложения или вычитания двух двоичных чисел в любое время, называется двоичным сумматором / вычитателем . И двоичный сумматор, и двоичный вычитатель содержат набор полных сумматоров, которые каскадируются. Входные биты двоичного числа A непосредственно применяются как в двоичном сумматоре, так и в двоичном вычитателе.

Есть два различия во входах полных сумматоров, которые присутствуют в двоичном сумматоре и двоичном вычитателе.

  • Входные биты двоичного числа B непосредственно применяются к полным сумматорам в двоичном сумматоре, тогда как дополненные биты двоичного числа B применяются к полным сумматорам в двоичном вычитателе.

  • Первоначальный перенос, C 0 = 0, применяется в 4-разрядном двоичном сумматоре, тогда как начальный перенос (C 0) 1 применяется в 4-разрядном двоичном вычитателе.

Мы знаем, что вентиль Ex-OR с 2 входами производит выход, который такой же, как у первого входа, когда другой вход равен нулю. Точно так же это производит вывод, который является дополнением первого ввода, когда другой ввод - один.

Поэтому мы можем применить входные биты двоичного числа B к 2-входным вентилям Ex-OR. Другим входом для всех этих ворот Ex-OR является C 0 . Таким образом, на основе значения C 0 вентили Ex-OR создают либо нормальные, либо дополненные биты двоичного числа B.

4-разрядный двоичный сумматор / вычитатель

4-разрядный двоичный сумматор / вычитатель производит либо сложение, либо вычитание двух 4-разрядных чисел на основе значения начального переноса или заимствования, 𝐶 0 . Пусть 4-битные двоичные числа, $ A = A_ {3} A_ {2} A_ {1} A_ {0} $ и $ B = B_ {3} B_ {2} B_ {1} B_ {0} $. Работа 4-разрядного двоичного сумматора / вычитателя аналогична работе 4-разрядного двоичного сумматора и 4-разрядного двоичного сумматора.

Примените обычные биты двоичных чисел A и B и начальный перенос или заимствование, C 0 от внешнего к 4-битному двоичному сумматору. Блок-схема 4-битного двоичного сумматора / вычитателя показана на следующем рисунке.

Сумматор и вычитатель

Если начальный перенос, 𝐶 0 равен нулю, то каждый полный сумматор получает нормальные биты двоичных чисел A & B. Таким образом, 4-разрядный двоичный сумматор / вычитатель выдает выход, который является сложением двух двоичных чисел A & B.

Если начальный заем равен 0 , то каждый полный сумматор получает нормальные биты двоичного числа A и дополненные биты двоичного числа B. Таким образом, 4-битный двоичный сумматор / вычитатель выдает результат, который является вычитанием двух двоичных номера A и B.

Следовательно, с помощью дополнительных шлюзов Ex-OR одна и та же схема может использоваться как для сложения, так и для вычитания двух двоичных чисел.